Lösningsskisser, tentamen 2003-10-13

Om något verkar underligt - maila, det kan ha blivit fel! /A-M

1) Newtons tredje lag: Kraft och motkraft verkar på OLIKA system - det är alltså inte så att "nettokraften blir noll". I alla situationer i uppgiften verkar såväl tyngdkraft som en lika stor men motriktad normalkraft på såväl häst som kärra. I vertikalled sker inte någon ändring av hastighet - rörelsen är rent horisontell. Krafter i horisontal-led ser olika ut i de tre fallen. Innan kärran börjar rulla (dvs "tillstånd av vila") måste summan av alla krafter vara noll, både på kärran och på hästen. Hästen utövar en kraft på kärran som motverkas av friktion (dels i hjullager och dels från marken) - lika stor men motriktad. Den största kraft hästen kan utöva på kärran är den statiska friktionskoefficienten * kärrans tyngd. Kärran utövar en lika stor kraft på hästen, denna motverkas av att markens kraft på hästen (eftersom hästen utövar en kraft på marken för att dra). Obs friktionskraften på hästen verkar framåt - det finns inte någon annan "framåtkraft" på hästen. När kärran börjar rulla - ända tills hästen kommer upp i sin konstanta hastighet är rörelsen accelererad. Hästens kraft på kärran måste alltså vara större än den motriktade friktionskraften. (Vid rörelse gäller en mindre friktionskoefficient än den statiska!) Eftersom även hästen accelererara måste dragkraften från hästen vara mindre än den kraft hästen utövar på marken. När hästen och kärran rör sig med konstant hastighet - (Tillstånd av likformig rätlinjig rörelse) måste friktionskraften och hästens dragkraft precis motverka varandra. Även krafterna på hästen, från kärran och marken, måste ta ut varandra. Kommentar: Förbjudet att låta kraft och motkraft kombineras till en resultant "0" - de verkar på olika kroppar. (0.5p avdrag, även om ni försökt förklara i text) 0.5p avdrag om normalkraft och tyngdkraft inte korrekt medtagna i minst ett av exemplen 0.5p avdrag om friktionskraften på hästen saknas, eller är riktad åt fel håll eller om det finns en ospecificerad "framåtkraft" 0.5p avdrag om ni undvikit att referera till Newtons tredje lag

2) Motsatsen till en perfekt inelastisk kollision. Rörelsemängden bevaras (dvs de två alfa-partiklarna har precis motriktad hastighet) och all energi blir rörelseenergi, så alfa-partiklarna får hälften var. v = sqrt (2E/m) = 1.5 E6 m/s. Lätt uppgift. Jag vill har svar med rimligt antal värdesiffror. Energin angavs med 2 siffor - svara inte med fler. Svar med 2 decimaler (3 siffror) accepteras. 0.5 p avdrag om ni svarat med fler. 0.5p avdrag om ni inte på något sätt markerat att de två alfa-partiklarna har motriktad hastighet. 0.5p avdrag om ni missat att det är TVÅ partiklar som delar på energin

3) Gunga, vinkel b= 60o. De enda krafter som verkar under gungandet är tyngdkraften och kraften från snöret som hela tiden verkar i radiell led (snörets riktning, in mot centrum, dvs upphängingspunkten). I vändläget är kraften från snöret mg cos b = mg/2 Accelerationen i vändläget är mg sin b. Farten i lägsta punkten fås ur energiprincipen, Mv2/2 = Mgh = Mg L(1- cos b), dvs v =sqrt(2gL *(1-cos b) ) som blir c:a 5 m/s. I nedersta punkten är centripetalaccelerationen v2/L = 2g (1-cos b). Denna erhålles genom resultanten av kraften från snöret och tyngdkraften. Detta innebär att kraften från snöret måste vara (3g - 2g cos b)*M = 2Mg. Accelerationen i nedersta punkten är större än accelerationen i vändläget .

4) För maximal räckvidd skjuter man i 45o (man kan också utnyttja godtycklig vinkel och sedan visa att detta gäller). I starten blir farten i x och y-led vardera 636m/s. Med g=1.67m/s tar det 636/1.67s = 381 s innan kulan nått högsta punkten och lika lång tid innan den når marken igen. Den har då hunnit 485 km. Avstånd måne-jord: Första approximation 1.25 * 3 E8 m. Likformighet: vinkeln 0.5o. svara mot 0.5 * pi/180 radianer. Diameterna blir då c:a (0,5*pi/180) * 1.25 * 3E8 =327 mil, (dvs knappt 1/4 av jordens). ( Avståndet mellan jordens centrum och månens centrum blir ett par procent längre än avståndet mellan ytorna. Inget avdra för att försumma skillnaden) Omloppsbana nära månen: v^2/R = 1.67m/s2 Hastigheten blir c:a 1.7km/s. Kulan kommer då att komma i en cirkulär bana. Vid lite högre fart blir banan elliptisk. (I båda fallen är det bra att flytta sig efter skottet!) (Om farten blir sqrt(2) högre har kulan tillräckligt mycket energi för att lämna månen.) 0.5p avdrag om ni beräknat flykthastigheten Kommentar: 0.5p avdrag för felaktig formeltillämpning. 0.5p om ni anger flykthastighet ist.f. fart som krävs för att gå i omloppsbana.

5) Julgranen F= C rho v2 A. Kedjorna är c:a 100 m långa och någon cm tjocka. Ytan c:a 1 m2 Vid 20m/s blir kraften då c:a 500 N Vid 40m/s blir kraften 2000 N Läs mer om "drag coefficients" mm på Nasas aerodynamik-sida Om vi tänker att massan hänger i kedjan och betraktar vridmomentet m.a.p. toppen får vi mg L * sin v = F * L/2, dvs mg = F/ (2 sin v). Om vinkeln är 10 grader behöver vi en massa på c:a 600 kg för att klara 40 m/s) (De klumpar som sitter på varje kedja väger c:a 700 kg.)

6) Tvillingparadoxen: (Baserat på ett stycke i Paul Hewitt's bok "Conceptual Physics")

• Utresa, utsändning av 10 blixtar, som anlämnder var 12:e minut, dvs 12, 24, 36, .... 120 min efter start. Under returresan sänds ytterligare tio blixtar ut, kommer till jorden efter 123, 126 .... 150 minuter efter start. Total tid 2 tim, 30 min.
• Pulserna från jorden anländer var 12 min till rymdskeppet som allts&arign; hinner ta emot 5 pulser under utresan. Under returresan kommer pulserna var 3:e minut, så rymdresenären hinner ta emot 20 pulser. Totalt har alltså 25 pulser skickats ut, vilket svarar mot 150 minuter. I båda falllen är det resenären som "tjänat" 30 min - efter att ha accelererat två gånger.

  Obs, man kan inte direkt utnyttja formeln för tidsdilatation för att få ram hastigheten. (Lättast kan man inse detta genom att den inte förklarar varför pulserna anländer med olika intervall till jorden och planeten.) För att få fram Dopplerskiftet (som vi inte gått igenom, men som inte heller behövs för att lösa uppgiften) måste man kombinera uttrycket för tidsdilatation med att ta hänsyn till att pulserna skickas iväg på olika avstånd från mottagaren.

1. d) Meterstavens massa är 2kg.
2. b 100 N (Newtons 3:a !)
3. c, 40 cm (Masscentrum i vila: 40cm = 2m* (125 -75)/(125+75+50)
4. b) Under piruetten ... ... är rörelsemängdsmomentet bevarat
5. ... a) medan rörelseenergin ökar
6. d) Jorden är närmare solen på vintern än på sommaren (färre dagar från 22 sept (c:a) till 21 mars (c:a) än vice versa. Keplers lagar! (att det är varmare på sommaren beror p&arign; jordaxelns lutning)
7. b) Stenen i luften påverkas endast av tyngdkraften, F=mg. Acceleration blir alltså a=F/m = g.
8. c) 160g (100g socker svarar mot 1.7 MJ = c:a 400 kcal - kanske inte så lätt att komma ihåg, b och d accepteras - en sockerbit svara mot bil i stadstrafik!)
9. a) 30 kN (= 60kN * sin (30 ^o)

10. a,f,i illustrerar konstant hastighet (1/6p för 1-2 svar)
11. Graferna c och d illustrerar situationer där hastigheten byter riktning (kan även vara g,h - men beror på ytterligare information) (1/6 p för 1 svar)
12. Vilken/vilka av graferna beskriver en situation med konstant acceleration?
    a,d,e,f,h,i (1/6 p om 2-3 svar, 1/3p om 4-6)