Rutherfords upptäckt av atomkärnan antyder en bild
av atomen som ett solsystem i miniatyr, där gravitationen
från solen ersätts med elektrostatisk attraktion från solen.
Uppgiften är nu att steg för steg räkna igenom olika
konsekvenser av denna modell. (När vi försummar att en
accelererad laddning borde sända ut strålning.)
Skriv ned ett uttryck för Coulomb-kraften mellan
den positivt laddade kärnan, med laddning Ze, och den
negativt laddade elektronen, med laddning -e.
Skriv ned uttrycket för accelerationen, a, i en cirkelrörelse
med radie r och farten v.
Eftersom "planetrörelsen" i detta fall orsakas av
Coulomb-kraften kan vi använda Newtons andra lag, F=ma,
för att kombinera uttrycken i a) och b). Skriv ned den
resulterande ekvationen:
Skriv om ekvationen för att få ett uttryck på r:
Uttrycket ovan ger inga villkor för r. För att få kvantiserade
energinivåer måste vi ha ytterligare något villkor.
De Broglie visade att hypotesen om materievågor
kunde ge ett kvantiseringsvillkor, om man kräver att
omkretsen på cirkelbanan skall svara mot ett antal hela
våglängder. Skriv ned detta villkor tillsammans med uttrycket för
de Broglie-våglängd (och utnyttja p=mv).
Notera att uttrycket svarar mot att rörelsemängdsmomentet L
är kvantiserat (vilket var den relation Bohr använde).
Skriv om villkoret så att du får en för vn uttryckt i
rn
Sätt in uttrycket för vn från d) i uttrycket för
r (som nu blir rn) från c).
Observera att rn kan skrivas som (n2/Z) a0.
Skriv ned uttrycket för a0.
Vad är det numeriska värdet för a0?
Hur varierar farten vn med n?
Den potentiella energin kan skrivas om genom att utnyttja uttrycket
på r från c). Kontrollera att Ep= -mv2=
-2Ek. Detta är ett generellt samband som kallas
Virialteoremet. Skriv ned ett uttryck för totala energin.
(Använd gärna a0 från e), ovan)
Tänk dig nu en kvantmekanisk beskrivning av systemet
jord - måne, som hålls ihop av gravitationen. Vilket kvanttal
svarar månens nuvarande läge mot?