| Figur 1. Elever med "slinky" i attraktionen "Små Grodorna". Slinkyn blir som kortast i högsta punkten. |
Matematik och fysik ger verktyg att beskriva många fenomen. I detta arbete har vi studerat dels studenters förmåga att använda dessa verktyg, dels elevers lärande när fysik kopplats till fenomen som berör deras egna upplevelser och utgår från elevers frågor och tankar kring kraft och acceleration. Vi har också studerat lärarstudenters möte med prov och bedömning i matematik.
Matematikens kraft som verktyg för förståelse och modellering av verkligheten blir tydlig om ämnet tillämpas på områden som är välbekanta för eleverna. (Lpf 94, kursplanemål, matematikämnet)Dessa mål uppnås inte automatiskt. Möten med lärarstudenter och med lärare på olika stadier visar att det finns en önskan om användbara tillämpningsexempel inom olika områden. Test och diskussioner med nya studenter visar att många är ovana att kombinera skolämnets kunskap med vardagens upplevelser. I intervjuer har ingenjörsstudenter reflekterat över sina svårigheter att identifiera den matematik de skulle kunna tillämpa på ett fysikproblem. I denna artikel presenteras några olika exempel på hur matematik och fysik kan tillämpas för att förstå kraft och rörelse i konkreta och välbekanta situationer.Skolan skall i sin undervisning i fysik sträva efter att eleven utvecklar sin förmåga att kvantitativt och kvalitativt beskriva, analysera och tolka fysikaliska fenomen och skeenden i vardagen, naturen, samhället och yrkeslivet, (Lpf 94, kursplanemål, fysikämnet)
Kan fysiken bli enklare än i Newtons första lag: "En kropp förblir i sitt tillstånd av vila eller likformig och rätlinjig rörelse om den ej tvingas av påverkande krafter att förändra detta tillstånd." Ändå har vi funnit att mindre än en tiondel av våra nya fysikstudenter på universitetet ritar krafter som ger summan noll i detta exempel. En till synes enkel fråga innehåller många fallgropar. Normalkraften heter "normal" för att den är vinkelrät mot ytan - inte för att den alltid skulle vara precis lika stor som tyngdkraften, även om det är fallet om man begränsar rörelsen till ett horisontalplan. Åt vilket håll pekar krafterna? Hur lång skall pilen för normalkraften vara? Lika lång som tyngdkraftspilen eller kortare eller längre? Storleken spelar roll: Om pilen för normalkraften blivit längre än tyngdkraftens komponent vinkelrät mot planet svarar det mot att bilen skulle lyfta från vägen.
Friktionen får i studentlösningar oftast rollen av energitjuv, motriktad rörelsen - men utan friktion skulle bilen i det inledande exemplet accelereras nedåt. För konstant hastighet krävs i detta fall att friktionen är framåtriktad. Naturligtvis hade problemet varit mer intuitivt om bilen i stället varit på väg nedför backen, eller om det i stället behandlat ett berg- och dalbanetåg på väg uppför första backen, dragen av en kedja.
Undersökning efter undersökning visar att intuitiva uppfattningar om kraft och rörelse bjuder starkt motstånd mot förändring. I våra vardagserfarenheter behövs alltid en kraft för att bibehålla en konstant hastighet - släpper man gaspedagen eller slutar man trampa på cykeln sjunker hastigheten snabbt.
| Figur 1. Elever med "slinky" i attraktionen "Små Grodorna". Slinkyn blir som kortast i högsta punkten. |
Genom Newtons andra lag, kraftekvationen, kopplas acceleration till kraft, a= F/m, och varje liten del av kroppen måste påverkas av en kraft om den skall accelerera. Kroppen i Newtons lagar kan också vara vår egen. Hela kraftsituationen i kroppen ändras av accelerationen och ger pirr i magen när man åker över ett krön och en känsla av att tyngdkraften blivit förstärkt när man t.ex. åker genom en dal. Kroppens upplevelse kan illustreras med en enkel leksak som får fungera som "accelerometer" (Fig. 1). Elever som åkt barnattraktionen "Små Grodorna" som deltagare i ett pilotprojekt, konstaterade i intervju några månader senare att de inte tidigare vetat att man kunde använda en "slinky" för att mäta hur tung man kände sig. Fler exempel på unga elevers lärande på Liseberg presenteras av Bagge och Pendrill (2003).
När vi ber elever i olika åldrar formulera frågor kring olika attraktioner, finner vi att "G-kraft" är ett känt begrepp. Många frågar hur många "g" det är i olika attraktioner och är nyfikna på hur många g kroppen tål. Textböcker ger inte mycket ledning. Horisontell acceleration gäller bilar, bilar, bilar och någon enstaka gång en cykel, ett flygplan eller ett tåg. Vertikal acceleration drabbar stenar, kulor eller oidentifierade föremål i fritt fall. Människor utsätts i böckerna väldigt sällan för krafter, utan är de som utövar krafter (även om de, enligt Newtons tredje lag, då måste påverkas av en lika stor och motriktad kraft).
På ett nöjesfält kan det vara vår egen kropp som upplever tyngdlöshet i det fria fallet, som accelereras från 0 till 70km/h på mindre än två sekunder, eller som rör sig i likformig rätlinjig rörelse på väg upp i berg- och dalbanan. Berg- och dalbanans fortsatta färd ger accelerationer och rotationer i tre dimensioner. Karusellernas cirkelrörelser kring olika axlar inbjuder till diskussion om de krafter som måste verka på den egna kroppen, för att ge upphov til cirkelrörelsens centripetalacceleration. På hemmaplan ger lekplatsens gungor chans att uppleva krafterna i en pendel, och mätning visar att hopp på en studsmatta kan ge fler g än Lisebergs attraktioner. Krafterna blir påtagliga och inte bara några pilar som skall ritas på ett papper utan relation till en egen upplevelse.
Ett nöjesfälts renodlade rörelser är på många sätt enklare än vardagens. För barn- och ungdomar i Västsverige är Lisebergs attraktioner välkända. I projektarbete låter vi förstaårsstudenter diskutera, analysera och sedan presentera sina resultat för olika attraktioner. De får också en diagnos där de ombeds rita krafter på den som åker i den klassiska attraktionen Rainbow. Den som åker rör sig med relativt konstant fart i en cirkelrörelse i ett vertikalplan, och upplever tyngdlöshet i högsta punkten. Accelerationen är alltså hela tiden ungefär lika stor som tyngdaccelerationen, g, men riktad in mot centrum. Resultanten av tyngdkraften och kraften från attraktionen måste alltså peka in mot centrum. En relativt enkel situation avslöjar obarmhärtigt en ofullständig förståelse av Newtons andra lag (Pendrill, 2005).
Newtons lagar beskriver inte hastighet utan bara ändring i hastighet. När vi rör oss med konstant hastighet är det inte något vi kan uppleva, annat än genom att titta på omvärlden - hastighet är relativ. Newtons lagar är desamma i alla system som rör sig med konstant hastighet. Acceleration är absolut, till skillnad från hastighet. Detta gör att accelerationen kan mätas inifrån det accelererade systemet, utan kontakt med omvärlden. Det är också därför den upplevs av hela kroppen.
Utbildningen i matematik skall ge eleven möjlighet att utöva och kommunicera matematik i meningsfulla och relevanta situationer i ett aktivt och öppet sökande efter förståelse, nya insikter och lösningar på olika problem. (Lpo94)I ett samarbetsprojekt med matematik och matematikdidaktik vid Göteborgs universitet har lärarstudenter som en del av examinationen fått arbeta med konstruktion av provuppgifter i anslutning till ett Lisebergsbesök. Problemen har sedan diskuterats, dels med lärare på skolorna i samband med studenternas verksamhetsförlagda utbildning (VFU) i matematik, dels med universitetets lärare. Studenterna har också fått presentera lösningsförslag och bedömningsmallar och prova uppgifterna på elever i samband med sin VFU. Som stöd i uppgiftskonstruktionen har studenterna dels haft tillgång till några uppgifter och WWW-material kring Lisebergs attraktioner (Slagkraft), dels till uppgifter och bedömningsmallar som använts vid nationella prov.
Studenterna har själva upplevt att konstruktion av provuppgifter och bedömningsmallar ofta kräver en fördjupad matematisk förståelse och att själva uppgiftsformuleringen ibland kan kräva användning av mer avancerad matematik. Situationen man vill studera kan behöva läggas tillrätta och det givna problemet måste kunna lösas. I vissa fall avstod studenter från uppslag till uppgifter när problemformuleringen verkade resa oöverstigliga hinder. I många fall blev uppgifterna relativt triviala. Svårigheten i att konstruera problem illustreras också av att många studenter fick kommentarer från sina handledare, som berättade att de aldrig själva gör provuppgifter utan istället förlitar sig på läroboksförfattaren. Lärares provuppgifter har analyserats i en avhandling vid Umeå Universitet (Boesen, 2006).
Många studenter noterade att den autentiska karaktären hos de uppgifter de konstruerat utgjorde en extra stimulans för eleverna. Samtidigt fann vi att flera av studenterna använde data som var helt orimliga. En av studenterna angav avsiktligt en stolsbredd på 150 cm, för att se om någon i klassen skulle reagera, vilket bara en elev gjorde. En rimlig slutsats är att studenter, liksom elever och ofta lärare, är alltför vana vid problem där det enda intresset av resultatet är att jämföra med facit. Utanför klassrummet är förmågan att avgöra rimlighet hos resultat och information naturligtvis mycket viktig.
Lärarstudenterna fann i sitt arbete med uppgifter för prov och bedömning att autentiska exempel bidrar till att öka elevernas motivation, Fler autentiska uppgifter i matematik och fysik ger en ökad variation i upplevelsen av begreppen och en större vana att koppla samman ekvationer med den verklighet de kan beskriva.