Acceleration för hela kroppen i 1, 2 och 3 dimensioner

Ann-Marie Pendrill och Conny Modig
LMNT-nytt, vt 2007
På ett nöjesfält får man med hela kroppen uppleva accelerationer i tre dimensioner. Med en accelerometer kan man mäta och få en graf över vad kroppen upplever och de krafter man utsätts för i olika delar av en attraktion. Att koppla kroppens upplevelser till bilden av attraktionen och analys av data kan bidra till att utveckla en fördjupad förståelse av Newtons lagar. Turen i Lisebergs berg- och dalbana, Kanonen, erbjuder exempel på många olika slag av kraft och acceleration i alla dimensioner.

1. Inledning

"En kropp förblir i sitt tillstånd av vila eller likformig rätlinjig rörelse ..." Textböckernas "kroppar" som utsätts för krafter i Newtons lagar är sällan levande. Om textbokens kropp någon gång accelereras är det från vila, med konstant acceleration. I vardagen låter vi våra kroppar uppleva acceleration i alla riktningar, även om vi inte alltid tänker på det. Ett nöjesfälts åkattraktioner bjuder på accelerationer och rotationer i renodlade rörelser [1] och den kropp som accelereras är vår egen - även om turen ibland går så fort att man knappt hinner förstå vad som hänt innan det är över. Med en accelerometer kan man mäta och få en graf över vad kroppen upplever och de krafter man utsätts för i olika delar av en attraktion. Att koppla kroppens upplevelser till bilden av attraktionen och analys av data kan bidra till att utveckla en fördjupad förståelse av Newtons lagar. Den 37 sekunder långa turen i Kanonen (Figur 1) låter mätningarna av acceleration i alla tre riktningarna komma till sin rätt under olika delar (Figur 2).


Figur 1: Lisebergs berg- och dalbana Kanonen innehåller många olika typer av rörelser i tre dimensioner.

2. Kanonen

Lisebergs nya berg- och dalbana, Kanonen, som invigdes på Liseberg 2005 [2], liknar inte en vanlig berg- och dalbana: Den första backen, "uppdraget" där tåget dras upp till sin högsta punkt har ersatts med en lång raksträcka. Alla berg- och dalbanor bygger på omvandling mellan kinetisk och potentiell energi. Normalt tillförs ingen extra energi under turen. I traditionella berg- och dalbanor får tåget den energi som behövs genom att dras upp till tillräcklig höjd. Turen i Kanonen inleds i stället med en horisontell utskjutning.

Efter utskjutningen passeras berg- och dalbanans högsta punkt, en s.k. "Top Hat". Tåget går sedan över ett lågt krön, där kroppen lyfter från sätet, vidare in i en loop, genom ett par tvära kurvor, in i en avslutande långsam rotation kring "hjärtlinjen". Figur 2 visar en accelerometerdata för med Kanonen. Endast komponenten vinkelrätt mot spåret och beloppet av resultanten har tagits med. Den undre grafen visar en höjdkurva som mäts samtidigt av sensorns inbyggda barometer [3]. Vi börjar med att diskutera resultaten för den endimensionella accelerationen under turens första sekunder, och tittar sedan närmare på andra delar.

Figur 2: Accelerometerdata från Kanonen. En accelerometer mäter vektorn (a-g), som kan ses som kraft per massenhet från tåget på den som åker. Den övre grafen visar accelerometerdata vinkelrätt mot spåret, tillsammans med beloppet. Data har uttryckts in enheten "g". Den undre grafen visar höjdkurvan som mäts samtidigt av sensorns inbyggda barometer.


Figur 3: Accelerometerdata (i m/s2) från utskjutningen. Figuren visar även hastighet (i m/s) och tillryggalagd sträcka (m). Vilken graf är vilken?

2.1. Utskjutningen

Horisontell start av en berg- och dalbana har utnyttjats sedan 70-talet, bl.a. i Revolution som är en "Shuttle Loop", där energin lagrades i ett svänghjul. Under 90-talet började magnetisk utskjutning användas i "LIM" - Linear induction motors och LSM - "linear synchronous motors". Den teknik som används i Kanonen kallas "Hydraulic launch". Den hydrauliska utskjutningen användes första gången i Cedar Point, Ohio, för att slå nytt höjdrekord: Top Thrill Dragster, som öppnade 2003 kommer upp i 200km/h på 4 sekunder [4,5]. Kanonens data är lite mer blygsamma, 70km/h på 2 sekunder [2]. Två veckor innan Kanonen öppnade 2005 invigdes Rita the Ride, på Alton Towers i England, som den första Europeiska berg- och dalbanan av denna typ. På lite närmare håll finns SpeedMonster på Tusenfryd, som öppnade 2006 [4].

Energin som behövs för att skicka iväg Kanonens tåg lagras genom att komprimera kvävgas till 300 gånger normalt atmosfärstryck. Under utskjutningen expanderar kvävet och skickar ut hydraulolja för att driva en vajervinsch som skickar iväg tåg och passagerare ut från stationen. Under utskjutningen minskar trycket till c:a 250 atm [1,6]. Figur 3 visar accelerometerdata från starten, och även hastighet och tillryggalagd sträcka. Övningar för läsaren:

2.2 Accelerometerns koordinatsystem

Eftersom accelerometern följer med under turen ändras koordinataxlarna hela tiden och man brukar utnyttja ett koordinatsystem där den "vertikala" z-axeln pekar rakt upp från spåret, den "longitudinella" x-axeln pekar i spårets riktning och den "laterala" y-axeln pekar åt vänster (så att man får ett högersystem). En accelerometer kan inte heller mäta ren acceleration, utan mäter i stället den kraft som utövas på en massenhet. Resultatet kan anges som olika komponenter av vektorn a-g, ofta uttryckt i enheten "g", dvs det som ofta betecknas med "g-kraft".

Om friktion försummas kommer vektorn a-g inte att ha någon komponent i spårets riktning (utom under start och inbromsning). Detta kan man också observera genom att gunga med accelerometern i en vanlig lekplatsgunga - eller låta den hänga i ett snöre. Om spårets lutning i sidled ("dosering") är perfekt anpassat till turen kommer den laterala komponenten av accelerometerdata att vara noll. I en "idealiserad" berg- och dalbana behövs alltså bara den vertikala accelerometern. I Figur 2 visas både den vertikala komponenten och absolutbeloppet. Större avvikelser kan noteras i starten (då accelerationen är i longitudinell led) och under den avslutande "heartline roll", som diskuteras nedan. Naturligtvis blir det också avvikelser när man lättar från spåret och den vertikala komponenten blir negativ.


Figur 4: Kanonen: På bilden är tåget just på väg genom loopen in i hjärt-linje-rullningen ("heartline roll"), där kroppens tyngdpunkt rör sig nästan rätlinjigt.

2.3 Loopen

Loopens högsta punkt passeras vid tiden 15 sekunder i dataserien i Figur 2, som visar att den som åker är i det närmaste tyngdlös i denna punkt. Om loopen har krökningsradie r måste farten i högsta punkten måste uppfylla v2=gr, så att centripetalaccelerationen blir just g. Om man är tyngdlös på toppen av en helt cirkulär loop kommer man i nedersta punkten att känna sig sex gånger så tung som vanligt, eftersom farten där ökat så att v2=5gr, (om energiförluster försummas). Detta innebär att centripetalaccelerationen blir 5g, och kraften från tåget, som också måste kompensera för tyngdkraften blir 6mg.

Enligt accelerometerdata i Figur 2 upplever man i början och slutet av loopen i stället en kraft från tåget som är ungefär fyra gånger så stor som i vila. Kanonens loop är inte en cirkel utan en s.k. klotoid. Cirkelbågen högst upp går över i en del av en "Cornu-spiral", där krökningsradien blir större närmare marken, för att minska påfrestningen på kroppen [7,8]. Klotoider används för att förena delar av kurvor med olika krökningsradier, vilket t.ex. har använts bl.a. vid konstruktion av motorvägsavfarter [9]. På detta sätt kan man kombinera en liten krökningsradie i loopens top med en större närmare marken, så att belastningen på kroppen begränsas. Genom att undvika en tvär minskning av krökningsradie minskas också belastningen på halsen: I tidigare loopkonstruktioner uppstod whiplash-skador när kroppen började röra sig uppåt medan huvudet fortsatte framåt/nedåt. Klotoidformen för loopar introducerades av Werner Stengel 1976 i berg- och dalbanan Revolution [7,4].

2.4. Likformig rätlinjig rörelse

På väg tillbaka till Kanonens station gör tåget ett avslutande ärovarv, genom loopen, ovanför dem som väntar. Spåret vrider sig nästan ett helt varv runt tåget. Denna del kallas "heartline roll" eller "heart roll". Kroppens tyngdpunkt rör sig med nästan konstant hastighet. Vilka krafter verkar då på kroppen? Figur 5 visar accelerometerdata för denna del av turen.

Man kan lätt frestas att tro att en mätning med en tredimensionell accelerometer ger en fullständig beskrivning av rörelsen som kan användas för att återskapa spårets form. Om kroppen inte roterade skulle det dock i princip vara möjligt att få samma accelerometerdata som i intervallet mellan 27 och 30 sekunder genom att röra sig upp-ned och höger-vänster, något 20-tal meter i varje riktning. (Låt vara att höjdmätningen motsäger denna tolkning!)

I den likformiga rätlinjiga rörelsen i hjärtlinjerullningen är det uppenbart för den som åker att rotationen spelar roll för kroppens upplevelse - vi är inte punktformiga massor! En "motion tracker" behöver även mäta rotation kring de tre koordinataxlarna för att få en fullständig beskrivning av rörelsen [10]. En tredimensionell accelerometermätning ger dock mycket underlag för analys av kända rörelser.

Figur 5:Accelerometerdata i "heartline roll". De vertikala och laterala (i sidled) visas tillsammans med totala "g-kraften" på kroppen. Eftersom kroppen rör sig med nästan konstant hastighet blir totala kraften från tåget på kroppen mg, motriktad tyngdkraften, även om riktningen ändras i förhållande till kroppens och accelerometerns roterande koordinatsystem.

3. Sensorer och Säkerhet

Med Verniers nya trådlösa dynamiska sensor "WDSS" [3] kan man med en enkel knapptryckning mäta acceleration i tre dimensioner. Samtidigt registreras höjden, vilket ger ett mycket gott stöd för att tolka de olika delarna av accelerometergraferna för rörelsen i en berg- och dalbana. Man kan ta upp mätserier en hel eftermiddag för senare blåtandsöverföring till datorn - om man inte väljer att göra det i direkt i parken, på ett improviserat bord (Figur 6), som under lärarkurs på Liseberg [11]. Om man inte för över data direkt är det extra viktigt att notera vilka attraktioner som studerats. Denna information kan inte sparas på själva sensorn. För kunna identifiera vilken attraktion som studerats krävs övning och viss förtrogenhet med de olika attraktionerna. Tolkningen försvåras också om sensorn inte hållits i linje med de önskade koordinataxlarna.

Åkattraktionerna på ett nöjesfält innebär ofta höga höjder, starka krafter och stora energier. Säkerheten måste alltid komma först. Newtons lagar gäller även vid besök på nöjesfält. De kan aldrig förhandlas bort - och det är ju för att studera dem man utför mätningar i åkattraktioner. En specialutformad mätväst (se Figur 6) tillfredsställer den säkerhetsansvariges krav. I kön kan västen leda till intressanta diskussioner och när man kommit fram väcker den attraktionsvärdarnas nyfikenhet. Västen gör det också lätt att kunna ta med och komma åt utrustningen trots stora byglar i de vildare attraktionerna, som t.ex Kanonen.


Figur 6 Överföring av mätdata under lärarkurs på Liseberg, juni 2006.

4. Planera ett besök

En utflykt med en klass kräver många praktiska förberedelser. Läraren har ett stort ansvar. Ibland kan alla praktiska detaljer göra det lätt att glömma den viktiga förberedelsen av själva ämnesinnehållet. Ett besök på ett nöjesfält leder inte i sig själv till fysikkunskaper - eleverna kan ha varit där många gånger tidigare utan att ha reflekterat över att upplevelserna kan beskrivas med fysiktermer. Det är en fördel om eleverna har provat mätutrustningen i förväg i en mer välbekant miljö, t.ex. i en hiss eller på en lekplats [12], och om de haft tillfälle att titta på mätresultaten.

För den som inte själv vill mäta i de olika attraktionerna finns möjlighet att utnyttja tidigare mätningar. Eleverna kan t.ex. få identifiera olika attraktioner på ett blad med accelerometergrafer. I projektet Slagkrafts lärarrum [1] finns förslag på många andra aktiviteter. Vill du ha hjälp att planera ett besök - tag gärna kontakt med Ann-Marie.Pendrill@physics.gu.se eller Conny.Modig@skovde.se så kan vi tillsammans ta fram uppgifter som passar just din klass och diskutera vilka mätningar som är möjliga att genomföra. Kontakta oss också om du vill vara med som observatör när vi besöker Liseberg med våra klasser.

Tack

Bo Larsson, Daniel Lindberg och Ulf Johansson har gett oss möjlighet att studera fysik på Liseberg, och vi vill tacka för många inspirerande diskussioner kring teknik, säkerhet och planering. Vi vill också tacka Zenit läromedel, som har gett oss möjlighet att prova olika sensorer, och lärare, studenter och elever som experimenterat och gett förslag och konstruktiv kritik.

Referenser

  1. Slagkraft - Naturvetenskap på Liseberg, http://physics.gu.se/LISEBERG/
  2. Liseberg, http://www.liseberg.se, (Gå till: Nöjespark, Åkattraktioner, Kanonen)
  3. Vernier, Wireless Dynamic Sensor System (WDSS), http://www.vernier.com/labequipment/wdss.html,
  4. Duane Marden, Roller Coaster Data Base, http://www.rcdb.com
  5. Duane Marden, 3,2, 1, Launch, FunWorldMagazine, Juli 2003, http://www.funworldmagazine.com/2003/Jul03/Features/3_2_1_Launch!/3_2_1_Launch!.html
  6. Jochen Peschel, Kanonen - great firepower at Liseberg, Coasters and More, http://www.coastersandmore.de/previews/kanonen/kanonen.shtml och http://www.coastersandmore.de/rides/kanonen/kanonen_eng.shtml
  7. Ingenieurbüro Stengel, http://www.rcstengel.com Klaus Schützmannsky Roller Coaster - Der Achterbahn-Designer Werner Stengel (2001)
  8. Ann-Marie Pendrill, Roller Coaster Loop Shapes, Physics Education, 40 517-21 (2005)
  9. Erik Vestergaard, Vejgeometri, http://www.matematiksider.dk/vejgeometri.html.
  10. Ann-Marie Pendrill och Henrik Rödjegård, A Roller Coaster Viewed Through Motion Tracker Data , Physics Education, 40 522-26 (2005)
  11. Zenit Läromedel http://www.zenitlaromedel.se
  12. Ann-Marie Pendrill, Lekplatsfysik, http://physics.gu.se/lekplats/
Ann-Marie.Pendrill@physics.gu.se är professor i Fysik vid Göteborgs universitet. Conny Modig är lärare på Västerhöjdsgymnasiet i Skövde.